混响

混响是一类模拟声音在空间扩散反射的效果器，按照实现方式的不同可以分为卷积混响和算法混响。

卷积混响

卷积混响是使用卷积来物理级模拟声音在空间中反射的效果器。一般地可以将卷积混响定义如下

$$Y[n]=(X\ast I)[n]Y[n]\; =\; (X\; *\; I)[n]$$

其中 $X[n]X[n]$ 为输入音频 $I[n]I[n]$ 为实现录制的脉冲响应 (Impulse Response, 简称 IR) $Y[n]Y[n]$ 为输出。

脉冲响应

脉冲响应是某个空间中理想脉冲信号的声学响应记录，保留该空间中的混响特性。一般以在目标空间中录制的一个瞬态信号经去卷积处理后得到。不过由于 IR 的任意性，在电子音乐中 IR 也可以用作声音染色。

实践

在实践中，因为卷积混响的计算复杂度较高，一般会通过卷积定理配合快速傅里叶变换、SIMD、多线程等手段加速运算（如将 IR 分块与输入音频帧长度一致，之后执行 FFT，在频域逐分量相乘后在进行 IFFT 并将重叠部分输出）。

算法混响

算法混响是使用算法来模拟混响效果的方式，一般通过物理方式建模等等。下面列举了一些经典的算法混响。下文中如未作特殊说明，则 $X[n]X[n]$ 表示输入音频流，$Y[n]Y[n]$ 表示输出音频流。

Schroeder 混响

物理学家 Manfred Schroeder 在 1962 年提出的混响，主要思想是利用并联的梳状滤波器​和​​串联的全通滤波器模拟自然混响。

结构

Schroeder 混响通常由 $kk$ 个并联的 Comb Filter 和 $mm$ 个串联的 Allpass Filter 实现，其结构如下（以 $k=4,m=2k\; =\; 4,\; m\; =\; 2$ 为例，下同）：

其中 Comb Filter 用以模拟反射回声，其差分方程如下

$$Y[n]=X[n-T]+aY[n-T]Y[n]\; =\; X[n\; -\; T]\; +\; a\; Y[n\; -\; T]$$

其中 $TT$ 是延迟时间，一般选择互质的毫秒级长度避免周期性，如 $31,37,41,4331,37,41,43$，$aa$ 为反馈系数控制衰减速度，一般 $a\in (0,1)a\; \backslash in\; (0,\; 1)$。

而 Allpass Filter 用于模拟回声信号的扩散，其差分方程如下

$$Y[n]=-gX[n]+X[n-D]+gY[n-D]Y[n]\; =\; -g\; X[n]\; +\; X[n\; -\; D]\; +\; g\; Y[n\; -\; D]$$

其中 $DD$ 是延迟时间，一般选择较短的长度如 $55$ms，$gg$ 为反馈系数控制衰减速度，一般 $g\in (0.5,0.7)g\; \backslash in\; (0.5,\; 0.7)$

该混响持续时间 $tt$ 由以下公式给出

$$t=-\frac{3T}{f_s\lg a}t\; =\; -\backslash frac\{3\; T\}\{f\_s\; \backslash lg\; a\}$$

取 $kk$ 个 Comb filter 所确定的持续时间的最大值。

此混响的效果具备较强的金属质感，优势在于计算效率高但缺乏真实空间的早期反射建模。

实现

已有的实现如 Sonicbits Sphere 或 Freeverb，你也可以自行用 Max for Live、Fl Studio 的 Patcher 或是其他手段自行实现。

反馈延迟网络

反馈延迟网络 (Feedback Delay Network, 简称 FDN) 是通过多个延迟线生成衰减信号的方法。

结构

反馈延迟网络通常由多个独立的延迟线组成，设系统总共有 $kk$ 个延迟线，则其状态向量定义为 $\mathit{S}[n]=(s_1[n],\cdots ,s_k[n]{)}^T\backslash boldsymbol\{S\}[n]\; =\; (s\_1[n],\; \backslash cdots,\; s\_k[n])^T$ 其满足

$$\mathit{S}[n+1]=\mathit{M}\cdot \mathit{D}(\mathit{S})[n]+X[n]\cdot \mathit{b}\backslash boldsymbol\{S\}[n\; +\; 1]\; =\; \backslash boldsymbol\{M\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{D\}(\backslash boldsymbol\{S\})[n]\; +\; X[n]\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{b\}$$

其中 $\mathit{M}\in M_k(\mathbb{R})\backslash boldsymbol\{M\}\backslash in\; M\_k(\backslash mathbb\{R\})$，称作反馈矩阵，通常取正交矩阵保证混响正常衰减。$\mathit{D}(\cdot )\text{\hspace{0.17em}⁣}:(\mathbb{N}\to {\mathbb{R}}^{1\times k})\to (\mathbb{N}\to {\mathbb{R}}^{1\times k})\backslash boldsymbol\{D\}(\backslash cdot)\; \backslash colon\; (\backslash mathbb\{N\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^\{1\backslash times\; k\})\; \backslash to\; (\backslash mathbb\{N\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}^\{1\backslash times\; k\})$ 是延迟线操作，其定义为

$$\mathit{D}(\mathit{S})[n]=[s_1[n-d_1],\cdots ,s_k[n-d_k]{]}^T\backslash boldsymbol\{D\}(\backslash boldsymbol\{S\})[n]\; =\; [s\_1[n-\; d\_1],\; \backslash cdots,\; s\_k[n-\; d\_k]]^T$$

即向历史状态的每一个分量添加不等的延迟 $d_1,\cdots ,d_{k}d\_1,\; \backslash cdots,\; d\_k$，通常互质。$\mathit{b}\backslash boldsymbol\{b\}$ 是输入分配向量，表示向每一条延迟线输入多大的输入，一般可以直接取作 $(1,\cdots ,1{)}^T\in {\mathbb{R}}^{1\times k}(1,\; \backslash cdots,\; 1)^T\; \backslash in\; \backslash mathbb\{R\}^\{1\; \backslash times\; k\}$
而系统输出满足

$$Y[n]=\mathit{c}\cdot \mathit{S}[n]+d\cdot X[n]Y[n]\; =\; \backslash boldsymbol\{c\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{S\}[n]\; +\; d\; \backslash cdot\; X[n]$$

其中 $\mathit{c}\in {\mathbb{R}}^{k\times 1}\backslash boldsymbol\{c\}\backslash in\backslash mathbb\{R\}^\{k\; \backslash times\; 1\}$ 是输出混合向量，一般可以直接取 $(1,\cdots ,1)\in {\mathbb{R}}^{k\times 1}(1,\; \backslash cdots,\; 1)\backslash in\backslash mathbb\{R\}^\{k\; \backslash times\; 1\}$，而 $d\in \mathbb{R}d\backslash in\backslash mathbb\{R\}$ 是原始信号的比例，一般取 $00$ 避免原始信号过强。

即整个系统可以由下图描述（以 $k=3k\; =\; 3$ 为例）

实践中反馈矩阵常使用 Householder 反馈矩阵，其定义如下

$$\mathit{M}=I-\frac{2}{⟨v,v⟩}v{v}^T\backslash boldsymbol\{M\}\; =\; I\; -\; \backslash frac\{2\}\{\backslash langle\; v,\; v\; \backslash rangle\}\; vv^T$$

其中 $vv$ 是任意一个向量，$II$ 是单位矩阵 $⟨\cdot ,\cdot ⟩\backslash langle\; \backslash cdot,\; \backslash cdot\; \backslash rangle$ 是内积。

实践中为了更好的模拟混响对高频的衰减，延迟线中音色往往还会经过低通滤波器，也会在末尾添加 Allpass filter 以更好的模拟回声信号的扩散。

混响持续时间 $tt$（无低通）由下述公式给出

$$t=\frac{3\max \{d_1,\cdots ,d_k\}}{f_s}t\; =\; \backslash frac\{3\backslash max\; \backslash \{\; d\_1,\; \backslash cdots,\; d\_k\; \backslash \}\}\{f\_s\}$$

其中 $f_{s}f\_s$ 是采样率

实现

市面上常见的混响如 ValhallaShimmer, Valhalla Room, FabFilter Pro-R​2 等等均基于 FDN 实现，也有一些免费混响如 u-he Protoverb 可以使用。

物理模拟方案

除了上述主流方案还有其他基于物理模拟的解决方案，如基于有限元分析或者有限差分法求解声学方程，或引入深度学习方案（如扩散网络混响）等等。在此受限于篇幅原因略过。