PCM 格式

计算机处理数据一般使用 PCM(Pulse-Code Modulation) 格式数据，其主要思想为通过方波近似替代原始音频波形。

PCM 格式数据

假设原始信号（或称模拟信号）为 $x\text{\hspace{0.17em}⁣}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}x\backslash colon\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ 则 PCM 的数据一般经由如下步骤生成：

1. 采样

采样是将原始数据沿时间离散化的过程，形式化的说，即为从原始信号 $x\text{\hspace{0.17em}⁣}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}x\; \backslash colon\; \backslash mathbb\{R\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ 生成离散数据（或称数字信号）$X\text{\hspace{0.17em}⁣}:\mathbb{N}\to \mathbb{R}X\; \backslash colon\; \backslash mathbb\{N\}\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$ 的过程

其主要实现方式为等距采样，步骤如下：

1. 设定采样率 $ff$，表示 $1s1s$ 内采样的点的个数单位为 Hz
2. 在给定时间区间 $[0,T][0,\; T]$ 内，步长为 $\frac{1}{f}\backslash frac\{1\}\{f\}$，对所有 $n\in [0,f\cdot T]\cap \mathbb{Z}n\; \backslash in\; [0,\; f\; \backslash cdot\; T]\; \backslash cap\; \backslash mathbb\{Z\}$ 计算得到 $x(t)x(t)$ 的离散数据为 $X[n]=f(\frac{n}{f})X[n]\; =\; f(\backslash frac\{n\}\{f\})$

其过程可以表述为下图：

不难发现，在这一过程中，采样率的高低将会决定采样本身的精细程度，进而影响信号本身的信息是否丢失。但采样率并非越高越好，过高的采样率会导致冗余数据，过低的采样率会导致信号本身的失真（见 Downsample 失真），具体来说我们有如下定理给出信号采样过程中“最优”的采样率：

奈奎斯特-香农采样定理，如信号 $x(t)x(t)$ 存在最高频率 $ff$，则采样率至少需要为 $2f2f$ 才能离散信号中完全重建原始信号

其中 $2f2f$ 称作奈奎斯特频率。结合初中物理可知，人耳最高可以听到的频率为 $2020$ kHz, 因此理论上采样率设置在 $4040$ kHz 便以足够。但在实际编曲过程中，为了留有一定的冗余的处理空间，一般选取 $44.144.1$ kHz 或 $4848$ kHz。

2. 量化

通过采样步骤得到数字信号 $X[n]X[n]$ 后，因为计算机不能储存无限精度的数字，所以在采样之后需要对值域进行离散化。

其具体实现方式如下

1. 将数字信号标准化，$X^{\mathrm{\prime }}[n]=\frac{X[n]}{\max X[n]}X\text{'}[n]\; =\; \backslash frac\{X[n]\}\{\backslash max\{X[n]\}\}$，此时 $X^{\mathrm{\prime }}[n]\in [0,1]X\text{'}[n]\; \backslash in\; [0,\; 1]$
2. 选取位深 $w\in \mathbb{Z}w\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$, 单位为 bit
3. 对于每一个 $nn$，找到 $m\in \mathbb{Z}m\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}$ 满足 $\mathrm{\mid }{X}^{\mathrm{\prime }}[n]-\frac{m}{2^n}\mathrm{\mid }|X\text{'}[n]\; -\; \backslash frac\{m\}\{2^n\}|$ 最小，得到 $X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}[n]=mX\text{'}\text{'}[n]\; =\; m$
   其过程可视化如下（以 8-bit 位深为例）

编曲实践中一般使用 $8,16,24,328,\; 16,\; 24,\; 32$ bit 作为位深

3. 编码

将由量化过程得到的最终信号 $X^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}[n]X\text{'}\text{'}[n]$ 通过一系列方式编码得到最终输出为文件/可解析格式。如 WAV 编码（直接存储 PCM）FLAC 编码（无损压缩 WAV），MP3 编码（有损压缩编码）。