失真效果器

失真效果器是一类允许用户产生于输入与音频相关的新输出音频的效果器，广义上的说，所有的效果器都是某种特殊的失真。但此处我们讨论那些更加符合大众印象的失真效果器。

定义

设有数字音频流 $X [n]$ ，我们笼统的定义失真是一个函数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 而失真效果器的输出可以直接表示为 $Y [n] = f (X [n])$ ，特别地，若 $f (x)$ 是一个奇函数，则称 $f$ 是一个对称失真反之则称为非对称失真。若 $f$ 不满足线性性，则成为非线性失真，大众眼中认为的失真效果器均为此类。

常见形式

下表给出了常见的失真类型以及对应的函数映射方式：

名称	简介	公式	备注
（硬）削波	直接截断输入音频超出阈值的部分，常发生于数据范围受限环境，如生成 PCM 格式音频，这是一个对称失真	$\left\{\begin{matrix}a & a < x \\ x & -a \le x \le a \\ -a & x < -a\end{matrix}\right.$	$a \in \mathbb{R}^+$ 是一个参数，决定了削波的阈值
软削波	截断输入音频，但允许部分平滑	$\tanh(\frac{X[n]}{a})$	$a \in \mathbb{R}^+$ 是一个参数，实现不唯一，此处给出的是一个常见实现
过载	软削波的一种特殊形式，常见的产生方式是通过二极管，可以用作饱和	$\frac{2}{1 + e^{-k X[n]}} - 1$	$k$ 是一个参数，控制饱和强度
Bit Crushing	降低采样的比特率达到失真的方式	$\frac{\operatorname{round}\left( X[n] Q \right)}{Q}.$	$Q$ 是一个参数，常常取作 $2^{k}$ 形式， $k$ 是整数 $\operatorname{round}$ 是四舍五入函数
Down Sample	降低采样率达到失真的方式，效果与 bit crusher 类似但不等同	$Y[n] = \frac{1}{N}\sum\limits_{k = 0}^{N}X[m + k]$	$N$ 为降低采样率的倍数，此处给出均值实现，其中 $n \in [Nm, (N+1)m)$
Wavefolding	将超出阈值的部分镜像对称至阈值以下	$\operatorname{abs} X[n] - 2 a \lfloor \frac{\operatorname{abs} X[n] + a}{2a} \rfloor$	$a$ 是一个参数，代表阈值
环形调制	对输入音频进行环形调制	$X[n] \cdot \cos(2\pi f_c \frac{n}{f_s})$	$f_{s}$ 是采样率 $f_{c}$ 是环形调制的调制波频率，是一个参数
相位失真	通过非线性相位调制改变波形形状	$\sin(2\pi f \frac{n}{f_s} + kX[n])$	$f_{s}$ 是采样率 $f$ 是载波频率，是一个参数， $k$ 控制相位偏移量
动态饱和	一种特殊的饱和	$\frac{X[n]}{1 + \frac{\operatorname{abs}X[n]}{a}}$	$a \in \mathbb{R}^+$ 是一个参数
磁带饱和	模拟磁带效果的饱和	$\frac{X[n]}{1 + \frac{X[n]^2}{a^2}}$	$a \in \mathbb{R}^+$ 是一个参数

部分插件如 WaveShaper 也会允许用户自定义失真曲线。

部分资料有可能把部分调制类效果器也归类为特殊的失真效果器，对于这些效果器，详见调制类效果器

谐波失真 (Harmonic Distortion)

谐波失真本质上源于系统的非线性特性。
当一个原本应该是线性的系统（如放大器、扬声器、传输线等）存在非线性时，它会对输入的纯净正弦波信号产生“扭曲”，导致输出信号中出现了输入信号频率整数倍（即谐波）的新频率成分。

谐波的产生

非线性系统（即不满足 $f (a x + y) = a f (x) + f (y)$ 的函数）对纯净正弦波输入 $X(t) = A \sin(\omega t)$ 进行处理时，其输出信号中会包含输入频率的整数倍频率 $n\omega, n \in \mathbb{Z}$ 的正弦波分量，即 $n$ 次谐波。

阶数与谐波

$n$ 次谐波主要（但不唯一）由失真函数的非线性的非线性项产生。形式化的说，若 $f$ 可以被展开为

$f(x) = \sum\limits_{n = 0}^{+\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

则考虑纯净正弦波输入 $\sin \omega t$ 我们会得到一系列输入信号的 $n$ 次方项，利用棣莫弗公式对 $n$ 次输入信号降次便会直接得到其产生的 $n$ 次谐波的表达式。但需要注意的是，高次项产生的谐波会影响到低次谐波。

介于正弦波的特性，有推论为：奇次谐波来源于奇次项，偶次谐波来源于偶次项。且各次谐波的输出幅度与 $f$ 本身的性质与输入信号幅度有关，

总谐波失真 (THD) 是量化这些谐波成分总能量相对于基波能量大小的指标。

其原理的各种应用详见失真类效果器

互调失真 (Intermodulation Distortion/IMD)

当两个或更多不同频率的信号同时通过一个非线性系统时，由于系统的非线性特性，会产生这些输入信号频率的和频与差频（或其组合）等新的频率成分。
这些新频率既不一定是原始频率的整数倍，也不一定在原始频率附近。
其核心数学原理在于非线性函数对多频输入信号的相互作用会产生原始频率的整数线性组合（和频、差频）的新频率分量。
其原理的各种应用详见互调失真