数字滤波器

数字滤波器是一类允许用户对音频信号的某些频率进行一定操作的效果器

线性时不变滤波器

线性时不变 (Linear Time Invariant，简称 LTI) 允许用户对输入的音频产生固定的调整某些特定频段或产生相移，是编曲实践中应用最为广泛的滤波器，其余类型的滤波器可以通过某种视角视作 LTI 滤波器。

定义

设我们存在数字音频流 $X[n]X[n]$，一般地，我们可以定义线性时不变数字滤波器为如下形式的差分方程：

$$\sum _{k=0}^N{a}_{k}Y[n-k]=\sum _{k=0}^M{b}_{k}X[n-k]\backslash sum\backslash limits\_\{k\; =\; 0\}^N\; a\_kY[n\; -k]\; =\; \backslash sum\backslash limits\_\{k\; =\; 0\}^M\; b\_kX[n\; -k]$$

其中 $Y[n]Y[n]$ 为输出信号，且要求 $a_0=1a\_0\; =\; 1$。如果差分方程包含历史输出（或称反馈项）信号（即 $a_k\mathrm{\ne }0a\_k\; \backslash ne\; 0$），则称之为无限脉冲响应的 (Infinite Impulse Response，简称 IIR) ，若仅与输入有关于历史输出无关，则称之为有限长脉冲响应的 (Finite Impulse Response， 简称 FIR) 。对于未定义部分（如负数指标）实践中一般置零。

频率响应

对上述差分方程进行 Z 变换得到对应的系统函数（传递函数） $H(z)H(z)$ 满足

$$H(z)=\frac{\sum _{m=0}^M{b}_m{z}^{-m}}{1+\sum _{n=1}^N{a}_n{z}^{-n}}H(z)\; =\; \backslash frac\{\backslash sum\backslash limits\_\{m\; =\; 0\}^Mb\_mz^\{-m\}\}\{1\; +\; \backslash sum\backslash limits\_\{n\; =\; 1\}^Na\_nz^\{-n\}\}$$

由此我们可以将原差分方程利用卷积写作

$$Y[n]=(X\ast h)[n]Y[n]\; =\; (X\; *\; h)[n]$$

其中 $h[n]h[n]$ 即冲激响应满足

$$H(z)=\mathcal{Z}\{h\}(z)H(z)\; =\; \backslash mathcal\{Z\}\backslash \{h\backslash \}(z)$$

结合卷积定理可知

$$\mathcal{Z}\{Y\}(z)=H(z)\cdot \mathcal{Z}\{X\}(z)\backslash mathcal\{Z\}\backslash \{Y\backslash \}(z)\; =\; H(z)\; \backslash cdot\; \backslash mathcal\{Z\}\backslash \{X\backslash \}(z)$$

从而得到结论：传递函数描述了滤波器对信号各个频段的影响，其中 $\mathrm{\mid }H(z)\mathrm{\mid }|H(z)|$ 表示其​幅度响应，表示滤波器对对应频段的信号的增益或衰减倍数，$\arg H(z)\backslash operatorname\{arg\}\; H(z)$ 表示其相位响应，表示滤波器对信号的相位影响。

需要注意的是冲激响应可能无穷长（对应 IIR 滤波器）实践中一般通过加窗或截断计算来进行计算。

常见滤波器种类